Съобщение интеграция с диференциация
Помислете за определен интеграл, чиято долна граница е постоянна и горната променило.
Даване на горната граница на различните стойности, ще получат различни стойности на интеграл; Следователно, в тези условия интеграл на функция на горната гранична стойност
,
тук - интеграция променлива, промяна в интервала .
Теорема 1.Proizvodnaya на интеграл от неговата горна граница е равна на подинтегрален .
Помислете непрекъснато получаване неотрицателна стойност в интервала функция. Отстраняване на точкаи некаплощ криволинейна трапец с база,(Фиг. 9), а след това
.
Ако променливата се увеличава, напромени в(Вж. Фиг. 9). Геометрично ясно, че
,
където и- съответно минималните и максималните стойности на функциятав междинния . В края на краищата,- площ на правоъгълник, разположена изцяло в рамките на форма, площ, определена, и- площ на правоъгълник, съдържащ форма. Ние разделяме всички неравенството чрез формата, след това.
защото непрекъсната функция в интервала, е необходимо в този обхват най-малко веднъж всяка стойност, разположена между най-ниските и най-високите си стойности, включително стойността на. Ние означаваме с точката, в която , .
Помислете за граница на този израз с уговорката, че . Тогава точката, и стойносттана стойността на функцията. Според свойствата ще имат ограничения:
, .
ЗАБЕЛЕЖКА: Тази теорема показва, че интеграцията и диференциация - обратните операции.
В Неопределен интеграл
OPREDELENIE.FunktsiyuF (X), което е производно на функцията подинтегрален се нарича примитивна.
Как да се намери производната е една от основните задачи на диференциала смятане, така че намирането на примитивен тя е една от основните цели на интегралното смятане.
Помислете например за функцията . Ние знаем, че. функцияпримитивна функция.
Ако установите, производните на функциите ,,, където- произволно постоянна стойност, всички те са равни. Следователно, една от функциитеТова е една примитивна функция.
Теорема 2. Всяка непрекъсната функция има безкраен брой примитиви, както и всеки две от тях се различават един от друг само по постоянен мандат.
Да предположим, че функцията Той разполага с примитивна функция. Тогава функциятапри всяка константаТова ще бъде и примитивен, тъй като. Така, функциятаТой има безкраен брой примитиви.
Нека функция и- примитиви за функция, т.е.и. След това. Но. Ето защо,.
OPREDELENIE.Sovokupnost всички примитиви за подинтегрален се нарича неопределен интеграл.
В неопределен интеграл също е посочена като специфична, само без граници, т.е. ако , на
.
ина тази формула, равенството
,
,
.
График примитивна функция nazyvaetsyaintegralnoy функция крива .
От определението на неопределен интеграл като множество от примитиви че семейството интегрални криви могат да бъдат получени чрез паралелен превод на линиястойността напо посока на Y-ос (фиг. 10).
Таблица 1 показва производни и основните примитивите за елементарни функции.