Рационални корените на полином с цели коефициенти
Въпросът за намиране е (х) полином рационални корениQ [X] (с рационални коефициенти) намалява намиране корените на рационални полиноми к ∙ е (х)Z [X] (с цели коефициенти). Тук, номер К е най-малкото общо кратно на знаменателите на коефициентите на полинома.
Необходими, но не достатъчни условия за съществуването на рационални корени на полином с цели коефициенти, дадени от следната теорема.
Теорема 6.1 (на рационалните корените на полином с цели коефициенти) .Акоmnogochlenaf рационален корен (х) = anxn ++ ... + a1x + a0stselymikoeffitsientami, където (р, р) = 1, числител константа a0 drobipyavlyaetsya делител и делител znamenatelqyavlyaetsya водещ коефициент a0.
теорема 6.2.EsliQ (където (стр. Q) = 1) е рационално mnogochlenaf корен (х) с цели коефициенти,са цели числа.
Пример. Намери всички рационални корени на полинома
1. Чрез Теорема 6.1: ако - рационален корен на полином F (х), (където (р, р) = 1), след това a0 = 1 р, с = 6 р. Затова р 1>, р, средства
.
2. Известно е, че (Следствие 5.3), номер А е корен на полином F (х), ако и само ако е (х) е разделен от (х - а).
Следователно, за да се провери дали числата 1 и -1 корените на полином F (X) могат да използват схема Horner:
Получено: Q () = 0, т.е.- korenq (х), и следователно, - korenf (х). По този начин, полином F (х) има две рационален корен: и.
Освобождаване от алгебрични ирационалност в знаменателя на фракцията
Курсът на училище за решаване на някои видове проблеми за освобождаването на ирационалността в знаменателя на фракцията е достатъчно да се размножават на числителя и знаменателя на броя конюгат знаменател.
Тук, в знаменателя с формула се активира Инициали умножение (разликата от квадратите), който позволява свободно на ирационалност в знаменател.
2. Да се отървем от ирационалност в знаменателя на фракцията
т = . Експресия - част квадратен от разликата на номера = и б = 1. Използване формула Инициали умножение a3-b3 = (А + В) · (а2-аб + b2), може да се определи фактор m = (А + В) = + 1, която трябва да умножим и знаменателят drobit. да се отърве от ирационалност в знаменателя на фракция тон. По този начин,
В случаите, когато формулите на съкратена умножение не работи, можете да използвате други техники. По-долу сме се формулира теорема, доказателство за което, по-специално, тя позволява на алгоритъма за намиране освобождаване от ирационалността в знаменателя на фракцията в по-сложни ситуации.
Определение 6.1. Z на брой се нарича алгебрични над polemF. ако съществува полином е (х) F [X], чийто корен е Z. в противен случай номер Z се нарича трансцендентално над polemF.
Определяне 6.2.Stepenyu алгебрични над polemFchislaz нарича степен който не може да бъде принуден полином над полето F р (х)F [X], чийто корен е номер Z.
Пример. Ние показваме, че Z = брой Това е алгебрични над polemQ и намери своето ниво.
Ние намери несводима полином над поле Q р (х), в основата на които е х = . Повишаване на двете страни ravenstvax = четвъртата власт, или poluchimh4 X4- = 2 2 = 0. По този начин, р (х) = X4- 2, и Z е равна на мощност на DegP (х) = 4.
Теорема 6.3 (освобождаването на алгебрични ирационалност в знаменателя) .Pustz- алгебрични брой над polemFstepenin. Експресия vidat =,където F (х), (X)F [X], (Z)0
Тя може да бъде еднозначно представени в следния вид:
т = CN-1zn-1 + CN-2zn-2 + ... + c1z + c0. CIF.
Освобождаването на ирационалност алгоритъм ще демонстрира специфичен пример в знаменател.
Пример. Безплатно от ирационалността в знаменателя:
1. знаменател на малка е стойността на полином (X) = х 2 - х 1 х = . В предишния пример показва, че- polemQ над алгебрични брой на степен 4, тъй като тя е корен на несводима полином над Q р (х) = 2 X4-.
2. Намерете линейно разширение на НОД ((X), р (х)) при използване на Euclidean алгоритъм.
-X-2 -х - = Q3 (х)
Така че ГРУ ((X), р (х)) = R2 = 7. Ние намери линейно разширение.
Пишем последователност Евклид, като се използва система за означаване на полиноми.
р (х) = (X) · q1 (х) + r1 (х)r1 (х) = Р (х) - (X) · q1 (х)
(X) = r1 (х) · q2 (х) + r2 (х) r2 (х) = (X) - r1 (х) · q2 (х)
Заместването в уравнение 7 = r2 (х) = (X) - r1 (х) · Q2 (х) r1 стойност остатък (х) = р (х) - (X) · q1 (х), ние се получи линейна трансформация след разлагане GCD ((X), р (х)): 7 = р (х) · (- q2 (х)) + (X) · [1 + q1 (х) · q2 (х)]. Ако заместим в последното равенство вместо символи, съответстващи полиноми и вземе предвид, че р () = 0, имаме:
(1 -+) · (-+ 2+ 3+ 1)] = 7 (1)
3. От уравнение (1) означава, че ако знаменател, умножена по броя на Тт = [1 + (- + 2+ 3+ 1)], ние получаваме 7. По този начин,
МЕТОДИКА 16. Урок Относно: Стандартен изглед полином
Вид на урока: за проверка и контрол на знанията и уменията урок
- проверят полином умения водят до по образец
- да развиват учениците логическо мислене, внимание
1. Изпълнете изречения:
а) експресия, съдържащ сума на едночлени посочени ... (полином).
б) полином, състояща се от стандартни едночлени и не съдържа такива условия се нарича ... (стандартна полином).
в) най-висока степен на едночлени, които влизат в полином се нарича стандартен формуляр ... (степента на полинома).
г) Преди определяне на степента на необходимост ... (за да го занесете в стандартна форма).
г) За да се определи стойността на полином необходимостта да се направи първо ... (представете си полином по образец), втора ... (посочете стойността на променливата в израза).
2. Намерете стойността на полином:
3. Носете си полином по образеца:
4. Носете си полином на стандартен формуляр и да разберете за какви стойности на х стойността е 1: