Лекция 17 фактор пръстен
Концепцията на идеала пръстениН, подобен на този на нормалната делител групата G. Тази конструкция позволява да се доближава до коефициент пръстена по същия начин, както в изграждането на фактор група G / Н.
нека - идеални.
Тъй като базовата пръстена Това е добавка абелева група , като елементи коефициент пръстени могат да изберат cosets, където, който nazyvayutsyaklassami остатъци модул идеален пръстен.
Теорема. Множество добавка cosets форма фактор пръстен с операции:
В допълнение, естествено карта vidayavlyaetsyaepimorfizmom (- surjective).
Доказателство. Групата Abelian всяка подгрупанормално, защото Затова, експресията (1) определя абелева група коефициент пръстен и картографирането е върху адитивни абелева група G и.
Остава да се провери, че експресията (2) определя еднозначно размножаването на набор от добавки cosets , т.е. Тя не зависи от избора на представителите на класовете.
нека ,- представители на двете cosets и, т.е.
,
,
Остава да се покаже, че .
В действителност, тъй и - идеални в K, а след това,
следователно Те са в една и съща съседен клас с елементи, което означава, че продуктът (2) е вярно.
Пример. Помислете за пръстена на целите числа . В идеалния случай, че пръстенът, т.е. набор от числа, кратни на m без следа.
Добавка съседен пръстен К клас идеален Той има формата къде.
Множество cosets добавка съдържа точно класове остатъчни модул , и те имат следния вид:
Така, пръстенни елементи на фактор на са класовете остатъчни модул
.
операции, на koltsezadayutsya на фактор на класове на остатъчни вещества, както в миналото:
,
За да фиксира т, по-горе, за използване стенографски :
Концепцията на пръстен-фактор от идеалния пръстенТя ви позволява да създадете основни теорема на homomorphism на пръстени.
Определението на поле, протозои свойства.
Във всеки пръстен изваждане се осъществява - обратната операция на добавяне:
От изпълнението на операциите дивизия - обратната операция за размножаване в определението на ринга не казва нищо. Тя може да се докаже, че по отношение на операция деление различни пръстени притежават различни свойства. Например, в пръстена четни числа се раздели един номер от друг се извършва само в изключителни случаи; в този пръстен не е елемент, който ще споделя всички негови елементи.
В пръстена от числа разделяне на един брой от друг се осъществява в изключителни случаи, но всички елементи на пръстена разделени от един и -1. В rationals на пръстенаоперация деление винаги се извършва с изключение на деление на нула.
Забележка. Участък от нула е невъзможно във всеки пръстен: разделяне елемент 0 - означава да се намери елемент в пръстена, че, но когатотова не е възможно, тъй като за всеки елемент на ринга:.
Колкото по-висока алгебра и по-специално в областта на математиката като цяло, играе специална роля комутативен пръстени. Тя се осъществява в които операция деление от деление на нула. Те са наречени полета.
Ние даваме няколко дефиниции на областта, които отразяват основните му характеристики.
Opredelenie1. комутативен пръстен nazyvaetsyapolem и означен , ако съдържа поне един елемент, различен от нула, и ако се извършва операция деление от делене на нула, т.е. за всички нейни компоненти и, от които, тя съдържа един и само един такъв елемент, че:
елемент Той призова частните елементиии е писано като дроб.
Opredelenie2. Paul е комутативен пръстен, в който nonzeros образуват група в рамките на операцията на умножение:
мултипликативна група на полето.
Opredelenie3. поле - комутативен пръстен с единство не е равно на нула, където всеки ненулев елемент е обратимо:
Както може да се види от определенията, област Това е хибрид от двете групи - добавка абелева групаи мултипликативна свързани разпределителни право (сега един, на commutativity).
Забележка. Изискванията, включени в дефиницията на полето се наричат аксиоми област.
Определение. Полеви елементи са числа, наречени числови полета.
1. Пръстенът на рационални числа Това е област.
2. Пръстенът на реалните числа Това също е област.
3. Ring номера на формата, където, Това е област.
4. Пръстенът на комплексни числа Това е област.
Всички примери са числови полета. Примери за цифрови полета са обсъдени по-долу.