числова поредица

Помислете за множеството на естествените числа 1, 2, 3, 4, ... ..n, ...

Нека всеки естествено число според някои правило или закон се възлага на реално число x1. x2. x3. ... хп. ... Тогава ние казваме, че множеството на естествените числа се дава числен последователност п>.

Числовата последователност е определен, ако от които може да се изчисли всеки член на последователността, посочена правило, освен ако не е известен брой. Това правило се нарича formuloynchlena последователност.

Например: х 2 = N

сходяща редица

номер се нарича границата на п последователности>, ако за всяка д> 0 има chisloN (ε), така че за vsehn> nYou неравенство │hp - a│<ε. Обозначают .

Последователност с граница се нарича конвергентна.

Неравенството │hn -a│<ε равносильно неравенству а – ε <хn

номер се нарича граница на последователността, ако по някаква електронна> 0 съществува chisloN (ε), че всички условия за последователността с nomeramin> Npopadut в епсилон - квартал на. Извън този квартал има или няма хп точки. или има определен брой от тях.

Теорема 1. Ако последователността има ограничение, то е уникално.

Нека последователността има две различни лимит и а и б. Помислете квартал на точки ibtakoy малки количества, че те не се пресичат. Ние използваме втория последващо определяне граница-последователни. От броя и последователността на границата, тогава съществува точка квартал и че всички членове, с изключение на поредицата могат да бъдат от краен брой попадат в ε - квартал на. Тъй като лимит chislobyavlyaetsya на последователност, всички от гледна точка на последователността, с изключение на само определен брой от тях попадат в ε - tochkib квартал. По този начин, всички членове на снимачната площадка са безкрайни в околностите на две различни точки, които не могат да бъдат. Противоречие. Следователно, само на лимита, и теоремата е вярно.

Основни свойства на граници

Якост алгебрична сума от краен брой последователности е равна на сумата от алгебрични отношение на последователности извън ако съществуват последните граници.

Граница на продукт на краен брой последователности е равна на произведението на факторите на последователности извън ако съществуват последните граници.

Ограничаване частни последователности е самостоятелна извън числителя и знаменателя, ако съществуват тези граници и границата на знаменателя на последователност е различна от нула.

Нека докажем, например, първото твърдение.

Да предположим, че има две последователности от п> и п> и сумата от п + ин>. За да се докаже, че

Ние използваме дефиницията на граница последователност.

нека , . Това означава, че за всяко ε> 0 съществува номер N, като chto│xn -a│

Форма на модула на разликата между броя последователност на сума и nchlenom (А + В) и го използва за свойствата на модула и горните неравенства.

│ (хп-ин) - (А + В) │ = │ (хп -а) + (Ь ин) │<│xn -a│+│yn -b│<+= ε

След това, от граница определение последователност, изявлението в рамките на поредица точното количество на.

Останалите твърдения се оказаха по подобен начин.

Нека функцията се определя в квартал на изключението може да бъде само на точка а. Обмислете поведението на функцията клони към стойността на аргумента х, както добре.

Определение 1. Броят А се нарича граница на функцията клони към а. ако за всяка последователност на аргумент стойности в областта на амбициозен ка функция. съответната последователност на стойности на функцията тенденция кА.

Обърнете се към него по този начин:

Ако последователността на стойности на функцията тенденция даилитенденцияда znacheniyua. тогава можем да кажем, че функцията е граница или.

Обърнете се към него по този начин:

ограничение на тенденцияТя може да бъде определен по различен начин.

Определение 2. Броят А се нарича граница на функцията в tochkea. ако , тамтака че за всички х. задоволяване на неравенството неравенството.

Лесно е да се докаже, че и двете определения са еквивалентни на граничната функция.

Графично определяне на границата, могат да бъдат представени, както следва:

След като аргумент х стойности попадат в квартал на точката. съответните стойности през есента в квартал на точката. в този случай за съществуването на граница функция, когато :

по избор, функция е определен в точка А;

квартал на мястото и трябва да отговарят на условията на симетрия, и квартал на точката, в даден То не трябва да отговаря на това изискване.

Определение 3. Броят А е граница на функцията приакоИма няколко такива, че неравенството извършва за всички х, отговарящи на неравенството

---